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天津四中 李程

三、判别式法

例3.求下面函数的值域

y=-

解：x∈R由y=-得yx2-3x+4y=0

当y=0时，x=0；

当y≠0时，由0

y∈[--,-]

说明：将函数转化为关于x的二次方程f(x，y)=0通过方程有实根，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式法。在利用判别式法时要注意二次项系数是否为0。

四、不等式法、函数的单调性法

例4.求下列函数的值域

(1)y=-

解：x∈{x│x≠2}

设t=2x-4(t≠0),

x=-

y=-=-

=-t+-

利用均值不等式当t>0,y1；当t<0,y-1 ∴y ∈{y│y-1或y1}

(2)y=-

解：x∈R,y=-+-

设t=-(t2)

∵y=t+-(t2)为增函数，

∴y2+-=- y∈[-,+∞)

说明：一般的，形如二次式与一次式的比，一次式与二次式的比，二次式与二次式的比，多可以采用分离常数的方法，转化为y=t+-+c,a、c为常数，再利用不等式求出函数的值域，要注意验证等号的成立条件，如等号不能取得，应利用y=t+-的单调性求解。

五、数形结合

例5.求下列函数的值域

(1)y=-

解：x∈R，y=-可看作单位圆外一点P(-2,0)与圆x2+y2=1上的点的所连线段的斜率，

y∈[--,-]

(2)y=-+-

解：x∈R

y=-+-

可看作x轴上一动点P(x,0)与两个定点(-1,1),(1,1)所连线段的长度之和。

y∈{y│y2-}

说明：在运用数形结合求函数的值域时，应注意转化函数的几何意义。常见的数形结合有：单位圆，斜率，距离等。